快樂數(shù)（happy number）有以下的特性：在給定的進(jìn)位制下，該數(shù)字所有數(shù)位(digits)的平方和，得到的新數(shù)

再次求所有數(shù)位的平方和，如此重復(fù)進(jìn)行，最終結(jié)果必為1。

例如，以十進(jìn)位為例：

2 8 → 2^2+8^2=68 → 6^2+8^2=100 → 1^2+0^2+0^2=1

3 2 → 3^2+2^2=13 → 1^2+3^2=10 → 1^2+0^2=1

3 7 → 3^2+7^2=58 → 5^2+8^2=89 → 8^2+9^2=145 → 1^2+4^2+5^2=42 → 4^2+2^2=20 → 2^2+0^2=4 → 4^2=16 → 1^2+6^2=37……

因此28和32是快樂數(shù)，而在37的計(jì)算過程中，37重覆出現(xiàn)，繼續(xù)計(jì)算的結(jié)果只會(huì)是上述數(shù)字的循環(huán)，不會(huì)出現(xiàn)1，因此37不是快樂數(shù)。

不是快樂數(shù)的數(shù)稱為不快樂數(shù)（unhappy number），所有不快樂數(shù)的數(shù)位平方和計(jì)算，最後都會(huì)進(jìn)入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環(huán)中。

在十進(jìn)位下，100以內(nèi)的快樂數(shù)有（OEIS中的數(shù)列A00770） ：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100。

也許我們能在小于10的進(jìn)位制之下發(fā)現(xiàn)更有趣的東西。這樣數(shù)字中就不會(huì)夾著字母了。167比9的倍數(shù)大5，那么在能整除9的進(jìn)制中，數(shù)字的末位是5，看上去比笨拙的7喜慶多了。（當(dāng)然，這只是對(duì)我們習(xí)慣了十進(jìn)制的眼睛來說的，在9進(jìn)制之下5的含義和我們想象的并不一樣。）在9進(jìn)制中，167寫作205，但是我個(gè)人更喜歡81進(jìn)制中的25，它很簡(jiǎn)潔。

在不同的進(jìn)位制之下研究167引出了另一個(gè)有趣的事實(shí)：167是一個(gè)嚴(yán)格的非回文數(shù)，也就是說它在2和165之間的任何一個(gè)進(jìn)位制之下都不能被寫成回文數(shù)（正著讀和反著讀完全一樣的數(shù)字）。（我們停在165進(jìn)制的原因是，它是167-2，而任何一個(gè)數(shù)字n在n-1進(jìn)制之下都是回文數(shù)，看上去都是11的形式。）目前為止，我們還不知道嚴(yán)格非回文數(shù)的數(shù)目，不過167的下一個(gè)非回文數(shù)是179，再下一個(gè)是223。

上面列出來的這些特征，完全足以證明舉辦一個(gè)慶典的必要性，除此之外，167還是一個(gè)安全素?cái)?shù)，一個(gè)非常cototient質(zhì)數(shù)，一個(gè)全循環(huán)質(zhì)數(shù)。我特別喜歡最后一個(gè)：這意味著存在一個(gè)166位的數(shù)字，它的每個(gè)倍數(shù)都是數(shù)字的循環(huán)排列。也就是說，當(dāng)你把這個(gè)數(shù)乘上一個(gè)整數(shù)之后，得到的積恰好是原來的數(shù)的數(shù)字，排列順序相同，但是起點(diǎn)不同，例如142857×2=285714。